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Die Trigonometrie beschäftigt sich hauptsächlich mit den trigonometrischen Funktionen, die das Verhältnis der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu den Winkeln in diesem Dreieck beschreiben. Trigonometrie ist ein wesentlicher Bestandteil von Game Engines. Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind:

Zusätzlich zu diesen Funktionen gibt es auch ihre inversen Funktionen, den Arcussinus (asin), Arkuskosinus (acos) und Arkustangens (atan), die das Verhältnis von Seitenlängen zu Winkeln berechnen.

Es gibt die ebene und die sphärische Trigonometrie. Der Kosinussatz wird auch als trigonometrischer Pythagoras bezeichnet. Das rührt daher, daß mit ihm wie beim Satz des Pythagoras eine fehlende Dreieckseite berechnet werden kann, allerdings im Gegensatz zum Pythagoras, der ja nur für rechtwinklige Dreiecke gilt, in jedem beliebigen Dreieck. Siehe auch Vektor und Matrixmanipulation (Youtube).

Merke Das Längenverhältnis aus Gegenkathete(alpha) und Hypotenuse ist sin(alpha) 

sin(a) = Gegenkathete / Hypothenuse => G = H * sin(a)
cos(a) = Ankathete / Hypothenuse => A = H * cos(a)
tan(a) = Gegenkathete / Ankathete

Spieleentwicklung

Bewegungen

Die Berechnung von Bewegungen mit Vektoren ist in der Spieleentwicklung sehr gebräuchlich und ermöglicht eine präzise Steuerung von Objekten im Raum. Hier sind einige grundlegende Schritte zur Berechnung von Bewegungen mit Vektoren:

Bei der Berechnung von Bewegungen mit Vektoren können trigonometrische Funktionen verwendet werden, um die Richtung und Geschwindigkeit von Objekten zu steuern. Zusätzlich können Konzepte wie Skalare Multiplikation, Vektoraddition und Skalarprodukt in den Berechnungen angewendet werden.

Rotationen

Um Drehungen mit Vektoren zu berechnen, werden Matrizenoperationen verwendet. Die grundlegende Methode besteht darin, den Vektor mit einer Rotationsmatrix zu multiplizieren. Die Rotationsmatrix hängt von der Art der Drehung ab, z. B. einer Drehung um die x-, y- oder z-Achse.

Vektorrepräsentation: Der zu drehende Vektor wird als Spaltenvektor dargestellt. 

[x]
[y]
[z]

Auswahl der Rotationsachse: Entscheiden Sie, um welche Achse Sie den Vektor drehen möchten. Mögliche Optionen sind x-, y- oder z-Achse.

Rotationsmatrix

Abhängig von der ausgewählten Achse wird eine entsprechende Rotationsmatrix erstellt. Hier sind die Rotationsmatrizen für die drei Hauptachsen:

Drehung um die x-Achse (Roll): 

[ 1 0 0 ]
[ 0 cosθ -sinθ ]
[ 0 sinθ cosθ ]

Drehung um die y-Achse (Gier): 

[ cosθ 0 sinθ ]
[ 0 1 0 ]
[-sinθ 0 cosθ ]

Drehung um die z-Achse (Nick): 

[ cosθ -sinθ 0 ]
[ sinθ cosθ 0 ]
[ 0 0 1 ]

Hierbei ist θ (Theta) der Drehwinkel.

Multiplikation der Rotationsmatrix mit dem Vektor: Der ursprüngliche Vektor wird mit der entsprechenden Rotationsmatrix multipliziert, um den rotierten Vektor zu erhalten. Die Reihenfolge der Multiplikation kann je nach Anwendung variieren. 

[x_rot]
[y_rot]
[z_rot] = Rotationsmatrix * [x]
[y]
[z]

Der resultierende Vektor [x_rot, y_rot, z_rot] ist der rotierte Vektor. Durch Anwendung verschiedener Drehwinkel und Kombinationen von Rotationsmatrizen können komplexe Drehungen und Transformationen von Vektoren erreicht werden.

Es ist zu beachten, dass diese Methode die Verwendung von homogenen Koordinaten und die Kombination von Rotations- und Translationsmatrizen für komplexere Transformationen nicht abdeckt. In solchen Fällen werden Matrizenoperationen wie Matrixmultiplikation und Transposition verwendet, um die gewünschten Transformationen zu berechnen.

Videos

allgemeines Dreieck

dreieck_allgemein.pdf

Kosinussatz

Kosinussatz